Inégalités de BienayméTchebychev et de concentration Mathématiques Explication et Exercices

On propose trois démonstrations de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La démonstration moderne telle qu’on pourrait l’enseigner en L3. On verra pourquoi elle n’est sans doute pas utilisable en terminale. Une démonstration niveau Terminale qui s’inspire du texte initial de Bienaymé (1853), avec des notations plus lisibles de.. En théorie des probabilités, l’ inégalité de Bienaymé-Tchebychev, est une inégalité de concentration permettant de montrer qu’une variable aléatoire prendra avec une faible probabilité une valeur relativement lointaine de son espérance. Ce résultat s’applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de.

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L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et toutes les inégalités de concentration apportent des précisions sur cette dispersion. Si X est une variable aléatoire à valeurs positives et si E(X) E X désigne son espérance, alors, pour tout réel a a strictement positif : P(X ≥ a) ≤ E(X) a P X ≥ a ≤ E X a. En notant μ μ l.. Propriété. Cette inégalité fut découverte par Bienaymé en 1856 puis popularisée par Tchebychev, grâce à l’utilisation de la loi des grands nombres. Soit X une variable aléatoire admettant comme espérance mu et comme variance V, Pour tout Ɛ > 0, on a : P (|X – mu |) ≥ Ɛ ≤ V/Ɛ 2.